在考完试后对答案的时候，常常让我们惊慌失措的一种情况就是，在做题的时候明明觉得做对了的题目却因为一些令人啼笑皆非的失误做错了。 而更令人哭笑不得的是很多学生明知道这种情况，却还是忽视验算。他们还有借口： “做题的时间实在是太紧张了。” “需要更多时间，扣难题，难题分数高啊！” “验算花的时间太多了！” 做题的时间过于紧张虽然是一个问题，但是一个事实一定要搞清楚：即使做题的时间再紧张，在提高分数上来讲，在多做一道难题和验算一下自己认为做对了的四五道简单题目，后者更有利。 自己抱着一道难题苦苦挣扎，把时间都花在了这上面，结果后来一看，却因为自己以为做对了的简单题目错了两道而导致分数下降，那课真没有比这个更傻的事情了。 我们有逻辑的思考一下，当然颜色简单的题目有利于活动和较高的分数。但奇怪的是，我们常常成你与能够把难题做出来的幻想中，不验算已经做出来的题目就直接去挑战下一道题目了。 验算是一种可以最大程度提高考试分数的方法。 如果这样能够让成绩真正的反应自己的实力来，为什么还不验算呢？ 改如何验算呢？ 有些人误以为验算就是把题目从头到尾再做一遍。 而实际上，验算是用做题时间的十分之一到五分之一来确认自己解题的过程或答案是否正确的一个方法。如果因为验算而花费大量时间的话，还不如干搓不验算的好（当然，题目都做完之后还剩下大量时间的情况例外）。 验算的方法有下面两种： ①利用解题过程验算 ②利用答案验算 例如一元一次方程的题目，我们只需要把算出来的答案带入到原题中，看“=”两遍是否相等就可以了。 如果不相等那么我们就需要对过程中各个阶段进行验算。很多时候都是通过这种方式发现自己的失误之处。 有些题目并没有给出方程来，需要自己去列方程。这种情况，在列方程的过程中有可能会出错，所以这时候必要现对列方程的过程进行验算。 那么到底应该先验算什么，后验算什么呢？对于考虑到各种情况的验算过程，根据下图进行验算就可以了。 为了能这样进行验算，就应该注意要把解题过程写清楚，不要省略太多的解题步骤。 很多学习好的学生，都会吧解题和验算合在一起来完成。（看土豆老师的视频课里，很多他在讲解很多题做完后都会再看一下验算一下确认有无问题，老师没有直接说，一直都用行动告诉大家这个很重要）在验算熟练到一定程度之后像这样的把解题和验算合在一起去做题，省下的时间就用在集中攻克难题上了。 这样做可以节省一些时间,如果要回头来验算题目的话，就要花一些时间去回忆当初是怎么做的，而像上面这样就不需要这部分时间了。 例如还是解一元一次方程方法如下： 第一遍做题的时候，列出来第一步，然后对题目和第一步进行快速的验算。当然只需要验算重要部分就可。验算不需要全部重新做一次。 列出第二步的时候，再坚持一下第一步到第二步推算过程中有没有失误的时地方。 以这种方式通过边做题边验算求得一个答案之后，把它代入给出的方程中进行验算。这样一次就把做题和验算都完成了，省下的世界就可以专门用来攻克难题啦！ 解题过程越复杂，题目越难，验算也就越重要。即时都是简单的题目，如果验算一下，也总可以发现一两处小错误的。 确保不白丢分的秘诀就是验算。 “没有经过验算你就不能认为答对了。” 那些总因为不验算而犯错的同学，就把这条贴到课桌上吧！ 谢谢关注xuetong.com有任何问题可以给我们留言， 或者通过QQ800033558联系我们.

在学习过程中会发现，有些学生只学习老师们教过的那些内容，而有些学生还想学习教过的内容之外的东西。 我们来看下面几位同学的故事！ 两名男同学，一名女同学，他们都是学习成绩比较好的学生。经过老师教了一段时间后发现，几名学生中女同学的学习成绩尤为出色。同样的内容，同样的授课，但惟独那名女同学比其他人要考的好很多。按说，应该是男同学更有数学头脑才对…… 所以老师就问那名女同学。 “除了老师教的你是不是还学了更多啊” 话音刚落，她就像早就等在那里一样，递给我一本练习册： “嗯！我还自己在家里学习这本练习册。” 现在的学习内容已经过多了，到底她用什么时间学别的，老师们对此很是纳闷。 原来，那名女同学如果在考试中没有男同学考得好，回家就会认真反省自己的不足之处，找出需要改正的地方。即时考得和他们差不多，回到家中也会把一些老师没要求的题目认真的做一遍。 这样这名女同学当然会比别人学习好一些了。 我们可能会误以为跟着好老师学习的话，水平就会更上一层楼。虽然这或许多少有一点点的帮助，但真正的提高实力是作为学生的我们抱着想学习的心态自己去钻研！ 优秀老师们努力不去把鱼直接拿给我们吃，而是教给我们钓鱼的方法。所以优秀的老师会把该教的东西全都交给我们，然后就会果断放手，不是大包大揽的把题目解给我们，而是指导我们尽量自己去理解题，并为我们指出所犯的错误。 给我们指出什么是正确的方向，什么是重要的、什么是不太重要的，多个单元之间的相互关系如何，其共同的解题方法都有哪些等这一类做为我们学生来讲自己难以想到的部分才是优秀教师的职责所在。其余的所有东西都应该有我们学生自己来学习。 数学是一门学习者在解题过程中培养自己实力的科目。 学习好的学生的共同之处在于： 自力更生的态度！ 还想学习老师教过以外的东西！ 学过的部分要比别人学的更好的“野心”！ 这些都是学习好的学生共同拥有的心态。 虽然学习的秘诀和优秀的老师也是很重要的，单请大家务必要记住一个事实，那就是，从你决意自己主动学习的那一瞬间起，你的实力就开始增长了。

如果把图（坐标图、曲线图或者图形）从数学中刨去的话，就好比一只没有牙的老虎。图是数学不可或缺的。把这些图握在手中，就像在门被锁死，没有钥匙的时候，找开锁人带来开门的各种工具一样。 一般来讲，学习比较不错的同学都比较善于用图来解题，相反，学习成绩中等的同学一般来说用图解题的能力就相对较弱，也有些学生一碰到以图的形式出现的题目就害怕了。原本是为了让学习更容易一些而画的图，反而成了使学习变的更难的元凶！ 熟悉用图解题的方式，可以使你数学成绩越来越好！ 为什么学会用图解题这么重要呢？ 用图来学习数学好处多多。 首先就是便于理解。 实际发生的事情，听别人描述了半天，还不如自己去现场亲眼看一下更能对情况有一个清晰的认识。还有，对某种负责的状况进行说明时，如果利用一下画图就会更容易理解。数学也是一样，画图对于我们的准确理解会有很大的帮助。 使用图来表现的话，可以得到更多的提示，图可以提供更多的信息。画图来表现直线是什么关系，和x、y轴是如何相交的等等，大量的信息会都在其中，这在做题的时候是非常有用的。如果在解题的过程中突然做不下去了，还可以利用其它提示来把题目解出来。 而且，用图解题便于验算。虽然有时候用所给方程式验算也会很容易，但图更容易使用你一眼就看出自己算出来的结果是否正确。虽然求出了答案，单如果其斜率犯了的话，用方程式验算不能立即查出来错误，看一眼图容易就能明白错在哪里了。 除此之外，用图来解题很多时候都会快很多。用方程式来解要写半页的题目，用图来解只需要1/4页就可以做出来了。大致来说，越复杂的题目这种差距越大。 图和方程式的关系像针和线一样难以分割，不能放弃一个去选择另一个。这就像两栖动物一样，两方面都要擅长才行。 所以，即使平时只用方程式能把题目解出来，也还是要联系用图来解题，因为通过这种方式可以培养自己坚不可摧的解题能力。 用方程式解出来的结果，画一下图很容易就能得到验证，用眼睛一看就立刻能知道哪儿错了。还有一些题目，只要把图画出来，看一下就能马上做出来。用方程式求解可能需要5分钟的题目，用图来解也许连1分钟都花不到。 逃避用图来解题也算一个弱点。 如果大家不善于用图解题的话，那么就应该逼迫自己多多画图。觉得水可怕就不下水的话，永远也学不会游泳。即便呛了很多水，也要经常下水，只有这样的人才能学会游泳。 与这个弱点正面对决吧！ 即便花的时间稍微多一些，也要把能够画出来的图全都画出来！ 这样的话大家早晚会发现画图是我们做数学题的利器！

我们经常听到别人说读懂题意相当于题目了解了一半。题目中是有着很多的提示的。 即使是说明简短的题目，有时也会因为领会错了题意而出错，更不用说那些说明复杂的题目了。 为什么会这样呢？ ①对说明中出现的重要的词语的数学含义不太了解 ②无法理解整个题意 ③审题错误 拿①来讲例如，“把下列函数中的反比例函数选出来”，如果连反比例函数是什么都不知道，这个题目肯定是做不出来的。这就好比到了超市之后问自己“我来买什么？”一样。 数学中像这样必须掌握的定义、定理有很多，掌握他们的含义是学习数学的第一步。 那②的情况呢？例如现在网上和群里比较常发的3个人住宾馆还有管爸爸妈妈借钱买东西的2种题，混淆了收入与支出等概念。 不仔细的时候就会发生这样的理解混乱的状况。 而③的情况多数是马虎，一般有这种情况的学生成绩总是中等，对自己做的题基本记不住，明明在草稿纸里写出正确答案，却在卷子或者答题卡上写错。 这种情况第一个是需要对各个单元概念的重要定义记忆并且进行默写。其次，对于题目理解错误的情况，需要提升自己的阅读理解能力。最后，对于看错题的情况，应该养成把题读两遍的习惯。一定要把题目读准确！ 谢谢关注xuetong.com有任何问题可以给我们留言， 或者通过QQ800033558联系我们.

考试的时候，往往是题目做着做着就卡主了。虽然有些是因为学过太长时间已经忘记了，但有些分明是刚学没多久，却怎么也想不起来了，可自己明明进行了复习。 这种情况，大致有两个原因。 一、没有牢牢的记住解题的步骤。 题目做着做着就突然想不起来下面该怎么做了。不按照解题的步骤来，而只是我行我素地去做，最终却吃尽了裤头，找不到头绪，只得放弃了事。这就好比放着旁边宽阔的大道不走，偏偏要去清理障碍，走一条坎坷的小路，最终还是不能到达自己的目的一样。 像这样，有些学生往往在做到半路的时候经过推测就贸然把答案写出来，或者自己随意去更改解题的方法，这对于提高水平是一个很大的障碍。特别是在从小学升入初中或者从初中升入高中的时候，这种情况常常出现。 教科书或者辅导书中出现的解题步骤都整理的非常好，如果能按照正确的解题步骤做题才说明你已经具备了准备解题的实力。因此，应该尽可能地努力按照教程中出现的解题方法来解题，一字不差的记忆。 当然，解题并非只有一种方法，但大致来说，教科书或辅导书中出现的一半都是最有效的解题方法，所以最好还是努力跟他们的思路走。 如果总是忘记解题的步骤，可以采用把解题步骤写下，边记忆解题顺序边记忆记忆解题方法。 二、没有把一道题解答两遍。 当年我们的老师教我们的时候常常强调的一句话就是： “如果一道题不解答两遍就等于没做过。” 我自己在学数学的时候也一直是努力遵守这条规则的，结果是，大部分题目再一次解答时基本就不会犯错了。虽然很多学生往往以那样会花费更多的时间为由而不好好遵守这一规则，但这一习惯的的确确是非常重要的。 解答两遍的含义绝不是单纯把步骤写两遍。所谓解答两遍是指自己在做题的时候，不要参考解题步骤，而要完全靠自己的力量从头到尾把它做出来。这样的话，只解答一遍，也能学会解题的步骤。 但之所以要解答两遍，目的在于检查。 特别是下面几种情况一定要解答两遍。 第一，只是用眼睛解答过的题目。 第二，因为在解答过程中卡住了，参考了答案才完成的题目。 第三，哪怕是一点点，也是求助于别人之后才解答出来的题目。 一般说来，用眼睛来接解题，或者在解题过程中参考了辅导书中的解题步骤的话，当时好像已经会做了，结果到考试的时候再遇到那道题的时却往往一点儿都想不起来，苦恼一番之后不得不放弃了事。这种情况数不胜数。如果不想遭受这种痛苦的话，一定要在 没有任何帮助的情况下只靠自己的力量再把题目做一遍。 能完全靠自己的力量吧数学题从头到尾解答出来，这才算是自己真正的实力。不管是老师还是其他人帮你解答出来的题目都不能算是你自己做出来的，所以应该认为还没有做过它。 有时候，在补习班或者家教课上，必修类型题总是由老师做给你看，而把“练习”当做作业布置下来。这是极其错误的方法，真正重要的题目由别人来做，不做都可以的题目却由自己来做！ 虽然已经有人把必修题目做给你看了，但一定要靠自己的力量把那道题再接打一遍，还要练习到能毫无差错地解答出来为止！ 尊不遵守这条规则由大家自己把握。 遵守这条规则的人或许会显得有些迟钝，时间花费当然会比别人，但学习的天平却往往会偏向那样的人一侧，不是吗？一定会有回报的。 开始的时候几乎不存在的厘毫之差日后也可以发展成为千里之距。 因此，靠自己的力量从头到尾把题目解答出来，按照教材中的解题步骤一字不差地进行记忆，这就是让已做过的题目考试中再次遇到时不至于成为拦路虎的秘诀所在。 谢谢关注xuetong.com有任何问题可以给我们留言， 或者通过QQ800033558联系我们.

我们在学习的时候，经常有一个错觉就是认为学过了就会了，实际上到了考试还是会出现错误。为什么会这样呢？ 核实自己是否已经掌握了所学的知识内容具体该如何做呢？我们先举个例子吧。 在考前复习的时候，我们必须核实一下自己是否真的把学的内容记住了，题目是否真的会做了，也就是在纸上把记下来的内容或者做出来的题的步骤再原封不动的默写一遍。如果一直这样核实自己一定会发现有什么地方是写不出来的，这样的话就把写不出来的那部分再好好学习一下，然后在去试着写出来。等能100%确认的时候，这个知识点的学习就可以告一段落了。 自己做错题的原因就是，很多地方自己认为掌握了而实际上在某些电商并没有准确的掌握，所以我们必须要核实自己对只是的掌握。特别是那些只是听了老师讲过，或者只自己用眼镜看过而没有自己用笔记整理写下来的情况下，考试时往往就会想不起来该怎么做，明明感觉很眼熟，却怎么都想不起来，这种情况很常见。 核实自己所学的内容很重要。 特别是在概念、定义等需要记忆的地方和做题过程中。 数学需要记忆的东西很多，要解答的东西也很多，准确才是最重要的，所以对自己是否真的学会了，一点要核实确认才行。 如果不进行核实确认的话，就算学过了，到考试前也不能放心。 只有经过核实确认没问题才能安心结束考前公开复习，这样到了考前我们就可以睡个好觉或者运动运动调整到最好的状态。 谢谢关注xuetong.com有任何问题可以给我们留言， 或者通过QQ800033558联系我们.

分别是西绪福斯黑洞（又名西西弗斯串）和卡普雷卡尔黑洞（又名重排求差黑洞）。 2. 西西弗斯串名字的由来还有一个故事呢。西西弗斯是科林斯 的建立者和国王。他甚至一度绑架了死神，让世间没有了死亡。

比如家里的书架上可以放一些数学相关的书籍如《速算秘诀》《中学生数理化》《好玩的数学系列》《训练思考能力的数学书》《故事中的数学》等，并推荐孩子阅读。学校里也可以营造这样的氛围。